سنتناول في هذا المقال موضوع إثبات قانون المتسلسلة الحسابية، وسنستعرض معانيه وأهميته معتمدين على مجموعة من الآراء والأفكار المقدمة من المتخصصين في مجال الرياضيات والحسابات. لذا، تابعونا بينما نستكشف تفاصيل هذا الدرس الذي غالبًا ما يكون مربكًا للطلاب والمعلمين الجدد على حدٍ سواء.
قوانين المتتابعة الحسابية والهندسية:
قوانين المتتابعة الحسابية والهندسية:
في الرياضيات، يشير التسلسل الهندسي إلى سلسلة من الأرقام يتم فيها ضرب كل حد بعد الأول بعدد ثابت يعرف باسم النسبة أو القدر المشترك، والذي يشار إليه أيضًا باسم نسبة محددة وفقًا للرياضيات. هذا الرقم ليس صفرًا ويشكل أساس تطور التسلسل.
بالمقارنة مع المتتابعة الهندسية، فإن المتتابعة الحسابية لها نمط آخر، حيث يتم تعريفها بزيادة مقدار ثابت على فترات متتالية. وتبرز الفروق بينهما بشكل واضح، إذ تنمو المتتابعة الهندسية بشكل أسي، بينما تنمو المتتابعة الحسابية بشكل خطي واضح، مما يسهل التمييز بين النوعين.
أمثلة على المتتابعات الهندسية:
أمثلة على المتتابعات الهندسية:
ولتوضيح مفهوم المتتابعة الهندسية يمكن أن نأخذ مثالاً على متسلسلة الأعداد 3، 6، 12، 24… تعتبر هذه المتتابعة متتابعة هندسية، والحد الأول فيها هو a = 3، مع معدل التكرار يساوي r = 2.
ويتضح ذلك عند قسمة كل حد على الحد الذي قبله. فنجد مثلا: عندما قسمنا العدد 6 على 3 يكون الناتج 2، وهو ما يتكرر للوصول إلى نفس النتيجة لبقية الحدود. لتحديد الحد الخامس، على سبيل المثال (ن = 5)، يمكننا استخدام المعادلة لنجد أن الحد الخامس هو 48.
كيفية التعرف على المتتابعة الحسابية:
كيفية التعرف على المتتابعة الحسابية:
يتساءل الكثير من الناس عن كيفية التمييز بين المتتابعات الحسابية. ولتسهيل الأمر إليك ما يلي:
- وفقا لخبراء الرياضيات، يمكن تحديد ما إذا كانت المتتابعة حسابية من خلال التركيز على عمليات الجمع والطرح فقط. فمثلاً لو أخذنا المتسلسلة (1، 3، 5، 7) نجد أنها متتابعة حسابية، لأن الفرق بين كل رقمين متتاليين ثابت، حيث أن كل رقم يزيد الرقم الذي قبله بمقدار 2، وهذا ويرمز للفرق بالرمز r الذي يمثل القاعدة التي يقوم عليها التسلسل.
شرح إثبات قانون المتسلسلة الحسابية:
شرح إثبات قانون المتسلسلة الحسابية:
تتضمن قوانين المتتابعة الحسابية قاعدة الحد العام، بالإضافة إلى القاعدة المعروفة أيضًا بالحد النوني.
لفهم قانون المتتابعة، يمكننا أن ننظر إلى المتتابعة {3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19}، حيث الحد الأول = 3، والفرق بين الحدين هو 2، مع عدد المصطلحات يساوي تسعة.
يمكننا دراسة العلاقة التالية لفهم المتتابعات الحسابية بشكل أفضل:
والحد الثالث هو A3 = 7 = 3 + (2 × 2)، أي A1 + 2D.
أما الحد التاسع A9 = 19 = 3 + (8 × 2) أي A1 + 8D.
[ أن = A1 + (ن – 1) D ]
ومن هنا نلاحظ دور العامل “د”:
وفي الحد الثالث A3 = 2 = 3 – 1.
وفي الفصل التاسع أ9 = 8 = 9 – 1.
ويمكن تطبيق هذه المعايير على باقي شروط المعادلة لفهم قوانين المتتابعة الحسابية التي شرحناها لكم سابقاً.