قد يكون العثور على حدود وظيفة الجيب مشكلة بالنسبة لبعض الطلاب. تتطلب المسألة أساسًا في حدود جميع الوظائف والنظريات المثلثية على النتيجة التي نحصل عليها عند العثور على حد وظيفة الجيب أو وظيفة جيب التمام.
غالبًا ما نحتاج إلى هذه الحدود في دراساتنا عن حساب التفاضل والتكامل والسلسلة اللانهائية. ومن الضروري أيضًا تطوير مشتقات علم المثلثات. الوظائف المثلثية ومشتقاتها مهمة للغاية ويجب أن تحفظها.
إيجاد حدود وظيفة الخطيئة كوسين
بطريقة بسيطة ، سوف نساعدك على تعلم ية العثور على حدود وظيفة الجيب لوظيفة الجيب ووظيفة جيب التمام.
يمكن التعبير عن الحد من وظيفة الجيب على النحو التالي:
Limx → 0 بدون (x)/x = 1
مهمتنا هي إثبات أن الحد على جانبي هذه الوظيفة هو 1.
أما بالنسبة لوظيفة جيب التمام ، فإن الحد الأقصى له هو كما يلي:
Limx → 0 cos (x) −1/x = 0
تتمثل مهمتنا في إثبات أن الحد على جانبي هذه الوظيفة هو صفر.
أدناه سوف نستخدم طريقة لإثبات نتيجة إيجاد حدود وظيفة الجيب.
إثبات الحد من وظيفة الخطيئة
خذ دائرة الوحدة وحدد الزاوية أعلى وأسفل نصف القطر ، للحصول على زاوية إجمالية قدرها 2θ.
طول القوس لدائرة الوحدة هو مقياس زاوية القوس (في الراديان) ، وبالتالي فإن طول القوس هو 2θ. باستخدام بعض علم المثلثات المثلث الأيمن ، يكون طول الجزء الأحمر المستقيم ضعف الجيب · θ
إذا أخذنا قسمًا صغيرًا بما يكفي من القوس ، فإنه يشبه إلى حد كبير قسم الخط المستقيم.
في التمايز ، هناك دائمًا فكرة أنه إذا أخذنا أي جزء صغير بما يكفي من المنحنى ، فهو خطي تقريبًا.
نظرًا لأن θ يميل إلى الصفر ، فإن طول القوس الأرجواني وطول الجزء الأحمر قريب من المساواة ، وتكون النسبة أقرب إلى واحدة.
*لاحظ أن الخط سيكون دائمًا أصغر من القوس ، وبالتالي فإن قيمة النسبة ستكون دائمًا أقل من 1. لذلك ، عند العثور على حدود وظيفة الخطيئة ، تكون النتيجة 1.
فيما يلي نظرة على تأثير تقليل 2θ على نسبة طول القوس إلى طول القسم. في الوسط ، تم تخفيض الزاوية إلى نصف حجمها الأصلي. على اليمين ، تم تكبيرها مرة أخرى.
دليل جبري لإيجاد حدود وظيفة الجيب (جيب التمام)
إثبات أن:
limθ → 0
cos (θ) −1 \ θ = 0by يثبت الحد من الجيب أعلاه في يمكننا إثبات الحد من جيب التمام الجبري. نبدأ بضرب الحد من: cos (θ)+1/cos (θ) +1 للحصول على: limθ → 0
(cos (θ) −1) (cos (θ) +1)/θ⋅ (cos (θ) +1) اضرب القيم ذات الحدين بواسطة البسط نتائج inlimθ → 0cos2 (θ) −1/θ⋅ (cos (θ) +1) الآن إذا تذكرنا هوية فيثاغورات: sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ، يمكن إعادة كتابة البسط
limθ → 0
−sin2 (θ)/θ⋅ (cos (θ) +1)
يمكننا بعد ذلك تقسيم هذا الرقم إلى جزأين ، أحدهما يمثل حد الجيب والآخر يمكن تقييمه عن طريق الاستبدال المباشر: limθ → 0
sin (i)/θ ⋅ −sin (i)/cos (i) +1 = 1⋅0 = 0
لتوضيح: استخدمنا خاصية منتج الحد التي تنص على: limx → cf (x) ⋅g (x) = (limx → cf (x)) (limx → cg (x))
كانت هذه ببساطة طريقة للعثور على حدود وظيفة الجيب وإثبات أن: Limx → 0 Sin (x)/x = 1 و: limx → 0 cos (x) −1/x = 0 بطريقة هندسية وجبر.